Решение

Свяжем с линией, соединяющей заряды, ось x, начало O которой совместим с первым зарядом (см. рисунок). Можно на оси выделить три области 1, 2 и 3.
Из качественных соображений, очевидно, что в областях 1 и 2 равновесие заряда +Q не возможно. Можно надеяться только в области 3 , т.е. при x > a, найти такую точку расположения заряда +Q, в которой равнодействующая всех сил, действующих на этот заряд, будет равняться нулю.
Используя условия равновесия сил, находим

откуда следует квадратное уравнение , корни которого

Из двух значений оправдан только корень со знаком плюс. Следовательно, имеем x₁ = 2,36a, так как для него x > a. Таким образом, x₁ = 0,472 м или в точке, отстоящей на 0,27 м вправо от второго заряда.

Пример 2.
В вершинах квадрата находятся положительные одинаковые заряды Q по 3,3 10^-9 Кл. Какой отрицательный заряд Qx нужно поместить в центр квадрата для того, чтобы вся система зарядов находилась в равновесии?

Решение

Сила притяжения к заряду Qx составит . Для равновесного положения любого из зарядов Q необходимо равенство этих сил, откуда следует, что

; Q_x = -3,2 10^-9 Кл.

Полезно отметить, что длина а стороны квадрата никакой роли при этом не играет.

Пример 3.
Два точечных одинаковых по знаку и модулю заряда Q₁ = Q₂ = Q жестко закреплены на расстоянии l друг от друга. На линии, соединяющей заряды в точке между зарядами, находится третий точечный заряд q противоположного знака. Материальный носитель этого заряда имеет массу m и имеет возможность без трения двигаться вдоль линии, соединяющей заряды Q₁ и Q₂ (конструктивно заряд q можно представить как однородно заряженный диэлектрический шар с диаметральным отверстием, через которое проходит прочная диэлектрическая нить, связывающая заряды Q₁ и Q₂.
Свяжем с линией, соединяющей заряды Q₁, Q₂ и q ось x; начало оси x совместим с равновесным положением заряда q, т.е. с серединой отрезка l. Покажите, что если вывести заряд q из положения равновесия, т.е. отклонить на расстояние x << l / 2 от положения равновесия и предоставить далее самому себе, он будет совершать гармонические колебания. Какова частота таких колебаний?

или

,

где A и - постоянные интегрирования (находятся из начальных условий), а - собственная частота гармонических колебаний;

Решение

Разбиваем дугу на множество квазиточечных элементов длиной dl, на каждом из которых сосредоточен квазиточечный заряд ( - линейная плотность заряда).
Из середины произвольного элемента dl в точку O проводим радиус-вектор r (см. рисунок), | r | = R и . Тогда по закону Кулона сила dF взаимодействия точечных зарядов q и будет равна .

Здесь существенным является то обстоятельство, что в математической физике является алгебраической величиной, т.е. характеризуемой модулем и знаком. Принято считать, что углы, отсчитываемые (например, от оси x, как на рисунке) по ходу часовой стрелки - отрицательные, против хода - положительные. Направление обхода при интегрировании выбираем против хода часовой стрелки (на рисунке показано линией со стрелкой).
Тогда имеем при таком соглашении, что и . Получаем окончательный результат

Учтено, что sin - нечетная функция, а cos - четная функция. Приведенные соотношения являются ответами к задаче.
Проанализируем частные случаи:
1) Если (полуокружность), то и , F_y = 0;
2) Если ; (окружность), то F_x = F_y = 0.

Пример 5.
Тонкий жесткий диэлектрический диск радиуса R заряжен равномерно зарядом Q с поверхностной плотностью заряда. На оси х диска на расстоянии а от центра диска находится точечный заряд q. Определите силу взаимодействия этого заряда с заряженным диском.

Решение

Разобьем диск на соосные концентрические кольца радиусов r < R и шириной dr. Площадь любого из таких колец равна , поэтому кольцо несет заряд . Элементарная сила взаимодействия заряженного кольца с точечным зарядом q равна

Далее интегрируем это выражение по r в пределах от 0 до R и получаем ответ

Проанализируем частные случаи:
1) Пусть а << R, что соответствует представлению диска как бесконечно протяженной равномерно заряженной тонкой пластины. Тогда,

Это важный результат, пригодный для решения многих модельных задач.
2) Если a >> R, то заряженный диск подобен точечному заряду . Из формулы ответа, используя формулы приближенных вычислений R/a << 1, сразу получаем . Это и есть закон Кулона.

Пример 6.
На продолжении тонкого диэлектрического стержня (нити) длиной l₁, несущего заряд Q₁, равномерно распределенный по длине с линейной плотностью₁ = Q₁/l₁, расположен точечный заряд Q₂ на расстоянии b от одного из концов стержня. Определите силу взаимодействия стержня и заряда.

Решение

Разбиваем стержень на множество элементов длиной dx каждый. На каждом таком элементе находится квазиточечный заряд , который действует на заряд Q₂ с элементарной силой .

Пример 7.
Плоский конденсатор представляет собою две тонкие протяженные металлические пластины 1 и 2 расположенные параллельно друг другу. Пластины заряжены равномерно одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами с поверхностными плотностями , и, следовательно, притягиваются друг к другу. Определите силу давления p на пластины.

Решение

На квазиточечный заряд , расположенный на элементарной поверхности площадью dS₂ 2-й пластины, действует со стороны 1-ой пластины элементарная сила . Сила давления на 2-ю пластину равна, следовательно,

Силы давления на обе пластины одинаковы по модулю, но противоположны по знаку. Для реальных конденсаторов сила давления может оказаться столь большой, что диэлектрик с проницаемостью , заполняющей пространство между обкладками конденсатора, будет механически разрушен.

наверх